אלברט אינשטיין: יַחֲסוּת, מבחר

 
 

להלן תרגום מבחר מתוך: אלברט אינשטיין, "התיאוריה הכללית והפרטית של היחסות" בפרויקט גוטנברג

 

הערה: בשירה כמו בשירה, כדאי לשקוע במוסיקה, במרקם המילולי ובדימויים החזותיים. לא מוכרחים להבין הכל. מצד שני, הערות על תרגום שגוי של מונחים יתקבלו בברכה ובשמחה 

 
 
 

על אפשרות יקום שהוא "סופי" ובה בעת "בלתי מוגבל"

 

פיתוחה של הגאומטריה הלא-אוקלידית, הוביל להכרה בעובדה שאנו יכולים להטיל ספק באינסופיות החלל שלנו, זאת מבלי לסתור את החוקים של מחשבתנו או נסיוננו. הסוגיות הללו כבר טופלו באופן מפורט ובהיר ביותר בידי הלמהולץ (Helmholtz) ופואנקרה (Poincare), ובשל כך אוכל לגעת בהן כאן רק בקצרה.

 

בראש ובראשונה, נעלה בדמיוננו קיומו של חלל בתוך שני ממדים. ישויות שטוחות על אבזריהן השטוחים, הן אלה החופשיות לנוע במישור ובראשן מטות או קני-מידה. לדידן של הישויות הללו, אין דבר כלשהו המתקיים מחוץ למישור הזה: כל שהן מבחינות בו, כל הקורה אותן או אותם "דברים" שטוחים שלהן, הריהו המציאות כוללת-הכל של המישור שלהן. מבני גאומטרית המישור האוקלידית, הם הניתנים לכינון באמצעות הקנים הללו באופן מיוחד. היקום של הישויות הללו, בניגוד לזה שלנו, הוא דו-ממדי. ואולם, ממש כזה שלנו הוא מתפשט לאינסוף. ביקום שלהן יש מקום למספר אינסופי של מרובעים זהים שנבנו מאותם קנים, דהיינו, הנפח (פני השטח) של יקום זה הוא אינסופי. אם אומרות הישויות הללו כי היקום שלהן שטוח, יש טעם בקביעתן, שכן כוונתן היא, כי, ביכולתן לכונן את מבני גאומטרית המישור האוקלידית באמצעות המטות שלהן. המטות האינדיבידואליים מייצגים תמיד אותו המרחק בהקשר זה, ובאופן שאיננו תלוי בעמדתם.

 

נתייחס עתה לקיום דו-ממדי נוסף, אבל הפעם על גבי פני-שטח כדוריים (spherical) במקום על מישור. הישויות השטוחות, על קני המידה ושאר האבזרים שלהן, מותאמות במדויק לפני השטח ואין ביכולתן לעזוב אותו. יקום ההתבוננות שלהן כל-כולו מתפשט, באופן בלעדי, על גבי פני השטח של הכדור. האם מסוגלות הישויות הללו להתייחס אל גאומטריית היקום שלהן כאל גאומטריית מישור, ואל המטות שלהן, בהתאם, בתור הריאליזציה של "מרחק"? אין באפשרותן לעשות זאת. שהרי, בנסיונן לכונן קו ישר תעלנה עקומה, כזו שאותה אנו, [שהננו] "ישויות תלת-ממדיות", מציינות בתור מעגל גדול, דהיינו קו סגור בעל אורך סופי מוחלט, שניתן למדוד אותו באמצעות אמת-מידה ["סרגל"]. בדומה, יש ליקום הזה שטח סופי שניתן להשוות אותו לשטחו של מרובע שנבנה ממטות. הקסם העצום הנובע מהתבוננות כזאת נמצא בהכרה בעובדה, כי היקום של הישויות הללו סופי ובכל זאת אין לו גבולות.

 

ואולם, ישויות פני-השטח הכדוריים אינן צריכות לצאת לסיור ברחבי העולם כדי להבין שהן אינן חיות ביקום אוקלידי. ביכולתן לשכנע את עצמן בכך בכל חלק של "עולמן", ובתנאי שהחלק שיעשו בו שמוש לא יהיה קטן מדי. בצאתן מנקודה מסוימת, הן משרטטות בכל הכיוונים "קוים ישרים" (הנחשבים בחלל תלת-ממדי קשתות מעגלים) בעלי אורך שווה. לקו החובר לקצותיהם הפנויים של הקווים הללו הם יקראו "מעגל". לגבי מישור שטוח, היחס בין היקף מעגל לקוטרו, כשמודדים את שני האורכים באותו קנה-מידה, על פי גאומטרית המישור האוקלידית הריהו שווה לערך הקבוע p, שאיננו תלוי בקוטר המעגל.

 

באמצעות היחס הזה יכולות הישויות הספֶריות לקבוע את רדיוס היקום שלהן, ואפילו כאשר חלק זעיר בלבד ביחס, מכדור עולמן זמין להן למדידות. אלא אם חלק זה פחוּת בגדלו מן הרצוי, שאזי הן לא יהיו מסוגלות עוד להוכיח כי הן נמצאות על גבי "עולם" כדורי שאיננו מישור אוקלידי, שכן חלק קטן מפני שטח כדוריים נבדלים אך במעט ממקטע של מישור בעל אותו גודל.

 

וכך, אם ישויות פני השטח הכדוריים חיות על פלנטה, שבו מחזיקה מערכת השמש רק חלק קטן מזער מן היקום הכדורי, אין בידיהן שום אמצעים לקבוע אם חיות הן ביקום סופי או אינסופי. זאת, שכן "פיסת היקום" שאליה יש להן גישה הינה בשני המקרים מישור למעשה, או אוקלידית. מדיון זה נובע ישירות, כי לגבי ישויות-הכדור שלנו, היקף הכדור עם הרדיוס גדל בתחילה, עד שמושג "היקף היקום", ומני כאן והלאה הוא פוחת והולך כלפי אפס, עדיין רק לשם ההתווספות הגוברת והולכת בערכי הרדיוס. שטח המעגל ממשיך בזמן התהליך הזה לגדול עוד ועוד עד שלבסוף הוא נהיה שווה לסכום שטח מכלול "כדור-העולם".

 

אפשר שהקורא יתמה מדוע שיכַנו את "הישויות" שלנו על גבי כדור במקום על גבי פני-שטח סגורים ממין אחר. ואולם, יש לבחירה צידוק בעובדה כי, מכל פני השטח הסגורים הכדור ייחודי בסגולתו זו, שכל הנקודות על פניו שוות-ערך. אני מודה אמנם כי יחס פני השטח c של מעגל כלשהו אל הרדיוס שלו r תלוי ב-r, ואולם לגבי ערך נתון של r הריהו זהה לגבי כל נקודותיה של "ספֵירת-עולם". במלים אחרות, "ספֵירת-העולם" הינה "פני-שטח" של קבוע עקמומיות (Constant Curvature).

 

ליקום-כדורי דו-ממדי זה יש בנמצא עוד אנלוגיה תלת-ממדית, דהיינו, החלל התלת-ממדי הכדורי שנתגלה על ידי רימן (Riemann)…

 

נניח שאנו משרטטים קוים או מותחים מיתרים בכל הכיוונים מנקודה מסויימת, ומסמנים מכל אחד מהם את המרחק r באמצעות אמת-מידה. כל נקודות-הקצה הפנויות של האורכים הללו נמצאים על גבי פני שטח כדוריים. נוכל באופן מיוחד למדוד את שטח (F) של פני השטח באמצעות מרבע שנבנה מאמות-מדה. יחד עם ערכיו הגדלים של r, גדל F  מאפס עד לערך המירבי שנקבע על ידי "רדיוס-העולם", ואולם לגבי ערכיו של r הגדלים עדיין, השטח פוחת והולך לאפס. בתחילה, הקוים הישרים הקורנים מנקודת ההתחלה נוטים הלאה והלאה זה מזה, אבל אחר כך הם קרבים והולכים זה-לזה ובסופו של דבר הם מתלכדים ב"נקודה-נגדית" לנקודת ההתחלה. בתנאים ממין אלה הם חצו את מכלול החלל הכדורי. קל להבחין כי החלל הכדורי התלת-ממדי הוא אנלוגי ביותר לפני השטח הכדוריים הדו-ממדיים. הוא סופי (דהיינו בעל נפח סופי), ואין לו גבולות…

 

ממה שנאמר נובע, כי חללים סגורים שאין להם גבולות מתקבלים על הדעת. מבין אלה, החלל הכדורי (והסגלגל) מצטיין בפשטותו. כתוצאה מדיון זה עולה שאלה מעניינת ביותר מבחינת האסטרונומים והפיסיקאים, והיא, האם היקום שאנו חיים בו הוא אינסופי, או אולי הוא סופי כדרכו של היקום הכדורי. נסיוננו רחוק מלהספיק לנו להשיב על השאלה. ואולם התיאוריה הכללית של היחסות מתירה לנו להשיב עליה בדרגה מיושבת של ודאות.

 

Eugene O. Goldbeck, אלברט אינשטיין בחברת בני שבט הוֹפִּי, גרנד קניון, 1922. Via Harry Ransom Center, University of Taxas at Austin

 
 
 

מבנה החלל על-פי התיאוריה הכללית של היחסות

 

על פי תורת היחסות הכללית, התכונות הגאומטריות של החלל אינן בלתי תלויות כי אם נקבעות על  ידי החומר. כי כן אנו מגיעים למסקנות בנוגע למבנה הגאומטרי של החלל אך ורק אם אנו מבססים את שיקולינו לגבי מצב החומר כאילו הוא משהו ידוע. אנו יודעים מן הנסיון, כי, בנוגע למערכת קואורדינטות שנבחר, מהירויות הכוכבים הן קטנות בהשוואה למהירות תמסורת האור. כי כן ביכולתנו להגיע, בהערכה כללית, למסקנה הנוגעת לַיקום בכללו, היה שאנו מטפלים בחומר כמה ששרוי במנוחה.

 

אמות-מידה ["סרגלים"] ושעונים מושפעים בהתנהגותם על ידי שדות כבידה, דהיינו על ידי תפוצת החומר. דבר זה כשלעצמו, די בו כדי להוציא (exclude) את אפשרות תקפותה המדויקת של הגאומטריה האוקלידית ביקומנו. אבל מתקבל על הדעת הדבר, שהיקום שלנו נבדל רק במעט מזה האוקלידי, וכי רעיון זה עשוי להיות יותר מסביר, שכן, החישובים מראים כי מטריצות החלל המקיף מושפעות רק עד שעור קטן ביותר ממסות, ואפילו (כאלה שהן) בסדר גודלה של השמש. נוכל לדמות לעצמנו כי, בנוגע לגאומטריה, מתנהג היקום שלנו באופן אנלוגי לפני שטח שהם עקומים באופן אי-רגולרי בחלקיו האינדיבידואליים, ועם זאת בשום מקום הוא איננו נפרד במידה ניכרת מפני שטח: משהו כמו פני שטח רַצֵי-גלים של אגם. ליקום ממין זה ניתן לקרוא יקום מעין-אוקלידי (quasi-Euclidean). ביחס לחלל שלו הוא יהיה אינסופי. ואולם חישובים מראים, כי באותו יקום מעין-אוקלידי תהא הדחיסות הממוצעת אפסית בהכרח. וכך, יקום שכזה איננו יכול להיות מאוכלס בחומר בכל מקום ומקום.

 

אם צריך שתהא לנו ביקום דחיסות ממוצעת של חומר, הנבדלת מאפס, אזי ככל שיהא ההבדל הזה קטן, אין היקום יכול להיות מעין-אוקלידי. נהפוך הוא, תוצאות החישוב מראות כי, אם על תפוצת החומר להיות אחידה, הכרחי שהיקום יהא כדורי (או אליפטי). ומכיוון שהתפוצה המפורטת של החומר איננה אחידה במציאות, הרי שהיקום הריאלי יסטה בחלקיו האינדיבידואליים מזה הכדורי, ופירושו של דבר שהיקום יהיה אז מעין-כדורי. ברם, בהכרח הוא יהיה סופי. לאמיתו של דבר, מספקת לנו התיאוריה קשר פשוט בין התפשטות חלל היקום לבין הדחיסות הממוצעת של החומר שבתוכו.

 
 
 

 

בסרטון מסביר אינשטיין, בנסיבות בלתי ידועות, מדוע אומה ללא השכלה אין לה נשמה:

 

"אוסיף עתה כמה מלים שלא הוכנו [מראש] (צחוק, מחיאות כפיים). ארץ כלשהיא זוכה בנשמתה האמתית אך ורק משעה שהיא משרתת בידיעה ובכוונה שלמה את החיים האינטלקטואליים. ובמקרה העם היהודי שלנו, עמל ויגע מאומצים הם ששימרו אותו בתור מכלול שלם. לא היינו קיימים היום, כקהילה של אנשים, אלמלא אותה פעילות נמשכת, או מקוטעת.. אה.. פעילות שבלמידה ובמחשבה ובספרות…"

 

כתיבת תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: